小学校の算数や、中学高校の数学でいろいろ習いましたが、そこで習った言葉や公式や定理について、英語でなんて言うんだろうと思ったことありませんか？
そんな、算数や数学で出てくる英語をまとめてみました。
とは言っても筆者も数学から離れて長いので、あまり数学的に厳密な定義や言い方ができていないかもしれません。また、一応中学から高校レベルまでの数学について解説しますが、一部、高校レベルを超えた数学も含むことがあります。あくまで、「この言葉は英語ではこう言う」ということを意識していただければと思います。
今回は「行列・ベクトル」編です。
Contents
行列 (matrix)
これまでは主に１次元の数、つまりスカラー (scalar) のことを取り上げていましたが、数には多次元のものがあります。
行列 (matrix 複数形は matrices) とは、
\[ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \]
のように、複数の数を縦と横に矩形状に配列したものです。
\[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \]
のように縦に並んだ一筋を列 (column) 、
\[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{array}\]
のように横に並んだ一筋を行 (row)といいます。上記の行列は\(m\)行\(n\)列なので、 \(m\times n\)型の行列 (\(m\times n\) matrix) といいます。
上の行列の \(a_{ij}\) を行列の\( (i, j) \)成分 (\((i, j)\)-component) といいます。
同じ行数と列数をもつ行列どうしは足し算 (addition) ができます。
\[ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{array} \right) \]
です。
行列にスカラー値を掛けることができます。行列にスカラー値 \(c\) を掛けると、
\[ c\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \end{array} \right)\]
のようになります。
\[ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & b_{n3} & \cdots & b_{nk} \end{array} \right) \]
のように、左側の行列の列の数と右側の行列の行の数が同じであれば、行列どうしの掛け算が可能です。上のような、 \(m\) 行 \(n\) 列の行列と \(n\) 行 \(k\) 列の行列を掛けた結果は
\[ \sum_{i=1}^n\left( \begin{array}{ccccc} a_{1i}b_{i1} & a_{1i}b_{i2} & a_{1i}b_{i3} & \cdots & a_{1i}b_{ik} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{mi}b_{i1} & a_{mi}b_{i2} & a_{mi}b_{i3} & \cdots & a_{mi}b_{ik} \end{array} \right) \]
となり、\(m\) 行 \(k\) 列の行列になります。
\[ A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \]
に対し、行と列の値を入れ替えたもの
\[ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ a_{13} & a_{23} & \cdots & a_{m3} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \]
を、行列 \(A\) の転置行列 (transposed matrix) といい、\( {}^t\!A \) のように書きます。
行と列の数が同じ場合、そのような行列を正方行列 (square matrix) といいます。正方行列には行列式 (determinant) というスカラー値が定義されます。行列 \(A\) に対する行列式を \(|A|\) あるいは \(\det (A)\) のように書きます。行列 \(A\) と \(B\) の積 \(AB\) の行列式 \(\det (AB)\) は、行列 \(A\) の行列式と行列 \(B\) の行列式の積 \(\det (A)\det(B)\) に等しくなります。
正方行列の対角成分の和 \(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\) のことを対角和 (trace) といい、\(\mathrm{Tr}A\) のように書きます。
\[ I=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array} \right) \]
となるような正方行列 \(I\) のことを単位行列 (identity matrix) といいます。正方行列 \(A\) の左からかけても右からかけても単位行列となるような行列を \(A\) の逆行列 (inverse) といい、 \(A^{-1}\) のようにあらわします。逆行列は、\(A\) の余因子行列 (adjugate matrix) \(\tilde{A}\) を \(A\) の行列式で割ったものとして \(A^{-1} = \tilde{A}/\det(A)\) のように求められます。\(\det(A)=0\) の場合、そのような行列 \(A\) には逆行列が存在しません。そのような行列は特異である (singular) といい、特異な行列のことを特異行列 (singular matrix) といいます。特異でない、逆行列の存在する行列は、正則である (regular) といい、そのような行列のことを正則行列 (regular matrix) あるいは可逆行列 (invertible matrix) といいます。
ベクトル (vector)
１行あるいは１列の行列のことをベクトル (vector) といい、\(\vec{a}\) や \(\overrightarrow{AB}\) などのように上に矢印をつけてあらわしたり、 \(\boldsymbol{a}\) のように太字であらわしたりします。
\[ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots , x_n) \]
のように、 \(n\) 個の要素 (element) からなるベクトルを \(n\) 次元ベクトルといいます。ベクトルの要素のことを成分 (component あるいは entry) とよぶこともあります。
\[ \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \]
のように縦に並べる書き方もあります。
ベクトルには向き (direction) と大きさ (magnitude) があり、ベクトルの大きさのことを \(|\boldsymbol{a}|\) のようにあらわします。\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, \cdots , a_n)\)の大きさは
\[ |\boldsymbol{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} \]
というスカラー値となります。
大きさが \(1\) のベクトルのことを単位ベクトル (unit vector) といいます。
同じ次元のベクトルは足し算 (addition) ができます。\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, \cdots , a_n)\)、 \(\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, \cdots , b_n)\)の和 (sum) は
\[ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots , a_n+b_n) \]
というベクトルになります。
スカラーと同様、交換法則 (commutative property) 、つまり\( \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\)が成り立ちます。また結合法則 (associative property) \( \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c}\) も成り立ちます。
ベクトルにスカラー値を掛けることができます。\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, \cdots , a_n)\)にスカラー値 \(c\) を掛けると、
\[ c\boldsymbol{a} = (ca_1, ca_2, ..., ca_n) \]
というベクトルとなります。このように、和とスカラー倍を取る事ができる性質を線型性 (linearity) といいます。
スカラーとの掛け算では分配法則 (distributive property) が成り立ちます。つまり \( (k+l)\boldsymbol{a} = k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{a}\) 、\(k(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = k\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}\) です。
同じ次元のベクトルどうしで掛け算もできます。ベクトルどうしの掛け算には
- 内積 (dot product) \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \)
- 外積 (cross product) あるいはベクトル積 (vector product) \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \)
- テンソル積 (tensor product) \(\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b} \)
があります。
\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, ..., a_n) \)、 \(\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, ..., b_n)\) の内積、外積、テンソル積はそれぞれ
\[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \sum_{k=1}^na_kb_k = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta \]
（\(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) とのなす角が \(\theta\) のとき）
\[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \]
（\(n=3\)のとき）
\[ \boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{cccc} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \end{array} \right) \]
となります。内積はスカラー、外積はベクトル、テンソル積は行列となります。外積は、１次元ベクトル、３次元ベクトル、７次元ベクトルどうしの場合にかぎり、求めることができます。
内積は交換性 (commutativity) をもちます。つまり \(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{a}\)が成り立ちます。また分配法則 (distributive property) \(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}\) が成り立ちます。
\( \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\) のとき、\(\boldsymbol{c}\) と \(\boldsymbol{a}\)、 \(\boldsymbol{b}\) とは直交しています。これを \( \boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{a}\)、 \( \boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{b}\) のようにあらわします。
\(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} \) になります。 \(\boldsymbol{0}\) は零ベクトル (zero vector) を示し、大きさが \(0\) のベクトルのことを言います。１次元ベクトルどうしの外積も零ベクトルになります。
\(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) が平行である (parallel) 、つまり向きが同じであるとき、\(\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}\) のようにあらわします。 \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) が平行でなく、零ベクトルでもない場合、 \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) は１次独立である、あるいは線型独立である (linearly independent) といい、どのベクトルも \(k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b}\)（\(k\)、\(l\)：スカラー）の形に分解してあらわすことができます。\(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) が平行であれば、\(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) は１次従属である、あるいは線形従属である (linearly dependent) といいます。
ベクトルの微分 (differentiation) は、
\[ \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial}{\partial x_n} \right) \]
というベクトル演算子を使うことにより可能です。この \( \nabla \) をナブラ (nabla) といいます。ベクトルの微分のしかたには、スカラー値を各成分ごとに微分するもの、ナブラとベクトルの内積を求めるもの、ナブラとベクトルの外積を求めるものがあります。
\[ \begin{eqnarray} \nabla f & = & \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \\ \nabla \cdot \boldsymbol{v} & = & \frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\cdots+\frac{\partial v_n}{\partial x_n} \\ \nabla \times \boldsymbol{v} & = & \left( \frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}, \frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}, \frac{\partial x_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \end{eqnarray} \]
（\(\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}), \boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z) \) のとき）
上を勾配 (gradient) 、中を発散 (divergence) 、下を回転 (curl あるいは rotation) といいます。\( \nabla \cdot \boldsymbol{v} = \mathrm{div}\boldsymbol{v}\)、\( \nabla \times \boldsymbol{v} = \mathrm{cu rl}\boldsymbol{v} \) とあらわすこともあります。勾配、回転はベクトル、発散はスカラーになります。
行列とベクトルの演算
ベクトルの左側に行列をかけ算することにより、ベクトルに対して演算を加えることができます。 \(n\)次元ベクトルを\(m\times n\)型の行列で演算すると、\(m\)次元ベクトルが得られます。
\[ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right) = \sum_{i=1}^n\left( \begin{array}{c} a_{1i}b_{i} \\ \vdots \\ a_{mi}b_{i} \end{array} \right) \]
連立一次方程式
\[ x+2y+3z=4 \\ 5x+6y+7z=8 \\ 9x+10y+11z=12 \]
があったとき、上の式は
\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5& 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 12 \end{array} \right) \]
と書き換えることができます。この行列の逆行列を求め、左からかけると
\[ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 12 \end{array} \right) \]
となり、ベクトル \( (x, y, z)\)の値が求められます。これはつまり、上の連立方程式を解いていることにほかなりません。
連立一次方程式は \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) のような行列とベクトルの演算の形であらわすことができます。\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\) の場合、このような方程式は斉次である (homogeneous) といいます。
参考
